\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, euscript, multicol}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amssymb, euscript}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\input hyphen.tex

\pagestyle{empty}
%\topmargin=-2.5cm
%\headheight=0cm
%\headsep=0cm
%\oddsidemargin=-1.8cm
%\textwidth=29cm
\textheight=20cm
\topmargin=-1.5cm
\headheight=0cm
\headsep=0cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\textwidth=19cm
\textheight=28cm



\begin{document}

\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Олимпиада \No 1.}
\end{center}

{\bf 1.} Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что ${a+1\over b} + {b+1\over c} + {c+1\over a}$ --- также натуральное число.
Доказать, что \emph{НОД}$(a,b,c)\leqslant \root 3 \of {ab + bc + ca}$.

{\bf 2.} Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что уравнение $(a+b-x)^2 = a-b$ и $(ab+1-x)^2 = ab-1$ имеют по два различных вещественных корня.
Докажите, что если большие корни этих уравнений совпадают, то и меньшие совпадают.

{\bf 3.} Вневписанные окружности треугольника $ABC$ касаются продолжений сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$.
Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $A_1B_1$, пересекает вторично описанную окружность $ABC$ в точке $M$.
Докажите, что $\angle CMI = 90^\circ$, если $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC$.

{\bf 4.} Петя задумал число от $1$ до $16$.
Коля пытается определить это число, выбрав набор из $k$ подмножеств множества ${1,2,\dots,16}$.
Петя указывает в какие их этих подмножеств попало задуманное число.
Известно, что Петя один раз может сказать неправду.
При каком наименьшем $k$ Коля сумеет определить число?

\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Сборная команда.
Олимпиада \No 2.}
\end{center}

{\bf 1.} Найдите все функции $f:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ такие, что $\forall x,y \quad f(x+y)\geqslant f(x) + yf(f(x))$.

{\bf 2.} При каких $x$ и $y$ все целые числа можно разбить на тройки чисел $a_i$, $a_i+x$, $a_i-y$?

{\bf 3.} Серединные перпендикуляры к радиусам $OA$, $OB$, $OC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ пересекают стороны $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно.
Докажите, что полученные точки лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой, соединяющей точку $O$ с точкой изогонально сопряженной центру окружности девяти точек треугольника $ABC$.

\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа А.
Олимпиада \No 2.}
\end{center}

{\bf 1.} Найти все такие целые числа $x$, $y$ и $z$, что $x+y+z=1$ и $x^3+
y^3 + z^2=1$.

{\bf 2.} Докажите, что для положительных чисел $x, y, z$ выполняется неравенство \[{x\over x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+{y\over y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+
{z\over z+\sqrt{(z+x)(z+y)}} \leqslant 1.\]

{\bf 3.} Леша расставил на полке в некотором порядке тома $54$ томного собрания сочинений В.~И.~Ленина.
Каждое утро Максим приходит и меняет два произвольных тома местами.
А вечером, перед сном, Леша переставляет любые два соседних тома местами.
Максим хочет, чтобы в
какое-нибудь светлое утро $5$ томов стояли на своих местах.
Сможет ли Леша ему помешать?

{\bf 4.} Серединные перпендикуляры к радиусам $OA$, $OB$, $OC$ описаннной окружности остроугольного треугольника $ABC$ пересекают стороны $BC$, $AC$,
$AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно.
Докажите, что полученные точки лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой, соединяющей точку $O$ с точкой изогонально сопряженной центру окружности $9$ точек треугольника $ABC$.



\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа Б.
Олимпиада \No 2.}
\end{center}

{\bf 1.} Найти все такие целые числа $x$, $y$ и $z$, что $x+y+z=1$ и $x^3+y^3 + z^2=1$.

{\bf 2.} На сторонах $AB$, $AC$ треугольника $ABC$ построены наружу равносторонние треугольники $ACK$, $ABL$.
Прямые $CL$ и $BK$ пересекают стороны $AB, AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и персекаются в точке $R$.
Найдите угол $A$ треугольника, если площади треугольника $BRC$ и четырехугольника $APRQ$ равны.

{\bf 3.} Докажите, что для положительных чисел $x$, $y$, $z$ выполняется
неравенство \[{x\over x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+{y\over y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+
{z\over z+\sqrt{(z+x)(z+y)}} \leqslant 1.\]

{\bf 4.} Леша расставил на полке в некотором порядке тома $54$ томного собрания сочинений В.~И.~Ленина.
Каждое утро Максим приходит и меняет два произвольных тома местами.
А вечером, перед сном, Леша переставляет любые два соседних тома местами.
Максим хочет, чтобы в какое-нибудь светлое утро $5$ томов стояли на своих местах.
Сможет ли Леша ему помешать?



\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Сборная команда.
Олимпиада \No 3.}
\end{center}

{\bf 1.} Найдите наибольшее $n\in \mathbb{N}$, которое делится на все натуральные числа, меньшие $\root 3\of n$.

{\bf 2.} На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $A_1$ таким образом, что вписанные окружности треугольников $ABA_1$ и $ACA_1$ имеют равные диаметры длины $d_a$.
Аналогично определяются $d_b$ и $d_c$.
Докажите, что $d_a+d_b+d_c+p \geqslant h_a+h_b+h_c$.

{\bf 3.} Пусть $m$ и $n$ --- натуральные числа.
Обозначим через $F$ набор $m$-элементных подмножеств множества $\{1,2,\ldots,n\}$, любые два из которых имеют непустое пересечение. Какое наибольшее число элементов может содержать множество $F$?


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа А.
Олимпиада \No 3.}
\end{center}

{\bf 1.} Найдите наибольшее $n\in \mathbb{N}$, которое делится на все натуральные
числа, меньшие $\root 3\of n$.


{\bf 2.} Пусть $n=2^m+1$ и $f_1, f_2,\ldots,f_n:[0;1]\to [0;1]$ --- убывающие функции, $f_i(0)=0, \quad, |f_i(x)-f_i(y)|\leqslant |x-y|$.
Докажите, что существуют $i\ne j$ такие, что при всех $x\in [0;1]$  выполнено $|f_i(x)-f_j(x)|\leqslant {1\over m}$.

{\bf 3.} Пусть $m$ и $n$ --- натуральные числа.
Обозначим через $F$ набор $m$-элементных подмножеств множества $\{1,2,\ldots,n\}$, любые два из которых имеют непустое пересечение.
Какое наибольшее число элементов может содержать множество $F$?

{\bf 4.} Внутри прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) выбрана точка $X$ так, что $\angle XAB=\angle XBC$.
Докажите, что $AC\cdot BC^2\leqslant AC\cdot CX^2+CX\cdot AB^2$.


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа Б.
Олимпиада \No 3.}
\end{center}

{\bf 1.} Пусть $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$ --- действительные числа такие,
что $x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Докажите неравенство: $$(x_1y_1+x_2y_2-1)^2\geqslant (x_1^2+x_2^2-1)(y_1^2+y_2^2-1)$$.

{\bf 2.} Докажите, что существует единственная последовательность $\{a_n\}\subset \mathbb{N}$, удовлетворяющая условиям: $a_1=~1,\quad a_2=2,\quad a_4=12$ и $a_{n+1}\cdot a_{n-1}=a_n^2\pm 1$ при $n\geqslant 2$.

{\bf 3.} Пусть $O$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$, $M$ --- середина стороны $AC$.
Обозначим через $P$ точку пересечения $MO$ и $BC$.
Докажите, что если $\angle BAC=2\angle ACB$, то $AB=BP$.

{\bf 4.}  Пусть $m$ и $n$ --- натуральные числа.
Обозначим через $F$ набор $m$-элементных подмножеств множества $\{1,2,\ldots,n\}$, любые два из которых имеют непустое пересечение.
Какое наибольшее число элементов может содержать множество $F$?


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Сборная команда.
Олимпиада \No 4.}
\end{center}

{\bf 1.} Натуральные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $xy=z^2+1$.
Докажите, что существуют целые числа $a$, $b$, $c$ и $d$ такие, что $x=a^2+b^2$, $y=c^2+d^2$ и $z=ac+bd$.

{\bf 2.} Данная окружность имеет фиксированную хорду $BC$. Точка $A$ --- переменная точка окружности.
Точка $I_a$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$,  касающейся стороны $BC$.
Через $I_a$ провели прямые, параллельные $AB$ и $AC$, которые пересекают $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ cоответственно.
Докажите, что все окружности, касающиеся сторон $\angle BAC$ c центрами в ортоцентрах $I_aMN$, касаются некоторой фиксированной окружности.

{\bf 3.} Докажите, что любую последовательность из $n(n+1)\over2$ членов можно разбить на $n$ нестрого монотонных последовательностей.


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа А.
Олимпиада \No 4.}
\end{center}

{\bf 1.} Вещественные числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ таковы, что $|x_{k+1}-x_k|\leqslant 1$ для всех $k=1,2,\dots,n-1$.
Докажите неравенство
\[\sum_{k=1}^n |x_k| -\left| \sum_{k=1}^n x_k \right|\leqslant {n^2\over4}.\]

{\bf 2.} Докажите, что уравнение $x^3+y^3+z^2=t^4$, имеет бесконечно много решений во взаимно простых натуральных числах.

{\bf 3.} Данная окружность имеет фиксированную хорду $BC$. Точка $A$ --- переменная точка окружности.
Точка $I_a$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$,  касающейся стороны $BC$.
Через $I_a$ провели прямые, параллельные $AB$ и $AC$, которые пересекают $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ cоответственно.
Докажите, что все окружности, касающиеся сторон $\angle BAC$ c центрами в ортоцентрах $I_aMN$, касаются некоторой фиксированной окружности.

{\bf 4.} Докажите, что любую последовательность из $n(n+1)\over2$ членов можно разбить на $n$ нестрого монотонных последовательностей.




\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа Б.
Олимпиада \No 4.}
\end{center}

{\bf 1.} Даны натуральные числа $p\geqslant q$. Докажите, что 
\[\biggl\{ \left(p+\sqrt{p^2+q}\right)^2 \biggr\} > {3\over4}.\]

{\bf 2.} Вещественные числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ таковы, что $|x_{k+1}-x_k|\leqslant 1$ для всех $k=1,2,\dots,n-1$.
Докажите неравенство
\[\sum_{k=1}^n |x_k| -\left| \sum_{k=1}^n x_k \right|\leqslant {n^2\over4}.\]

{\bf 3.} Окружности $\omega_1$ и  $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. На $\omega_1$ и  $\omega_2$ взяты точки $C$ и $D$ соответственно такие, что $AC$ и $AD$ --- касательные к $\omega_2$ и  $\omega_1$ соответственно.
Точки $I_1$ и $I_2$ --- центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC$ и $ABD$ cоответственно.
Отрезки $I_1I_2$ и $AB$ пересекаются в точке $E$.
Докажите, что $ {1\over AE}= {1\over AC} + {1\over AD}$.

{\bf 4.} Верно ли, что любую последовательность из $1000$ членов можно разбить на $43$ нестрого монотонные подпоследовательности?


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Сборная команда.
Олимпиада \No 5.}
\end{center}

{\bf 1.} Рассмотрим семейство неравнобедренных треугольников $ABC$, удовлетворяющих условию $AC^2+BC^2=2AB^2$.
Пусть $CM$ --- медиана, а $CD$ --- биссектриса таких треугольников. Точка $E$ плоскости выбрана так, что $D$ является центром вписанной окружности треугольника $CEM$.
Докажите, что отношение каких-то двух строн треугольника $CEM$ одинаково для всех треугольников семейства.

{\bf 2.} Множество $S$ состоит из $2^n+1$ элементов.
$F$ --- функция из множества двучэлементных подмножеств $S$ в множество $\{ 0,\ldots, 2^{n-1}-1\}$.
Предположим, что для любых элементов $x,y,z\in S$ одно из чисел $F(\{ x,y\}),\ F(\{ y,z\}),$ $F(\{ z,x\})$ равно сумме остальных двух.
Докажите, что найдутся элементы $a,b,c\in S$ такие, что числа $F(\{ a,b\})$, $F(\{ b,c\}),\ F(\{ c,a\})$ все равны нулю.

{\bf 3.} Найдите все пары натуральных чисел  $m,n\geqslant 2$ таких, что $a^n -1$ делится на $m$  для всех $a\in \{1,2,\dots ,n\}$.


\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа А.
Олимпиада \No 5.}
\end{center}

{\bf 1.} Пусть $n\in \mathbb{N}$ и $f(x)=a_0+a_1x+\ldots +a_kx^k$ $(k\geqslant 2)$ --- многочлен с целыми коэффициентами такой, что $a_2,a_3,\ldots, a_k$ делятся
на все простые делители $n$, а $a_1$ взаимно просто с $n$.
Докажите, что для любого натурального $\ell$ существует $c\in \mathbb{N}$ такое, что $f(c)\vdots n^\ell$.

{\bf 2.} Рассмотрим семейство неравнобедренных треугольников $ABC$, удовлетворяющих условию $AC^2+BC^2=2AB^2$.
Пусть $CM$ --- медиана, а $CD$ --- биссектриса таких треугольников.
Точка $E$ плоскости выбрана так, что $D$ является центром вписанной окружности треугольника $CEM$.
Докажите, что отношение каких-то двух строн треугольника $CEM$ одинаково для всех треугольников семейства.

{\bf 3.} Множество $S$ состоит из $2^n+1$ элементов. $F$ --- функция из множества двухэлементных подмножеств $S$ в множество $\{ 0,\ldots, 2^{n-1}-1\}$.
Предположим, что для любых элементов $x,y,z\in S$ одно из чисел $F(\{ x,y\}),\ F(\{ y,z\})$, $F(\{ z,x\})$ равно сумме остальных двух.
Докажите, что найдутся элементы $a,b,c\in S$ такие, что числа $F(\{ a,b\})$, $F(\{ b,c\})$, $F(\{ c,a\})$ все равны нулю.

{\bf 4.} Найдите все пары натуральных чисел $m,n\geqslant 2$ таких, что $a^n -1$ делится на $m$  для всех $a\in \{1,2,\dots ,n\}$.




\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа Б.
Олимпиада \No 5.}
\end{center}

{\bf 1.} Пусть  $ABCD$ --- описанный четырехугольник. $E$ --- точка пересечения лучей $AB$ и $DC$, $F$ --- точка пересечения лучей $DA$ и $CB$.
Пусть $I_1$, $I_2$ и $I_3$ --- центры вписанных окружностей треугольников $AFB$, $BEC$ и $ABC$ соответственно.
Прямая $I_1I_3$ пересекает $EA$ и $ED$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
Прямая $I_2I_3$ пересекает $FC$ и $FD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
Докажите, что если $EK=EL$, то $FM=FN$.

{\bf 2.} Пусть $n\in \mathbb{N}$ и $f(x)=a_0+a_1x+\ldots +a_kx^k\quad (k\geqslant 2)$ --- многочлен с целыми коэффициентами такой, что $a_2$, $a_3$, $\ldots$, $a_k$ делятся на все простые делители $n$, а $a_1$ взаимно просто с $n$. 
Докажите, что для любого натурального $\ell$ существует $c\in \mathbb{N}$ такое, что $f(c)\vdots n^\ell$.

{\bf 3.} Дана последовательность $A=(a_1, a_2,\ldots, a_{2001})$ положительных чисел.
Обозначим через $M(a)$ число трехчленных арифметических прогрессий $a_i$, $a_j$, $a_k$ с разностью $1$ таких, что $i<j<k$.
Для всех таких последовательностей обозначим $M=\max M(A)$.
Найти все последовательности $A$, для которых $M(A)=M$.

{\bf 4.} Множество $S$ состоит из $2^n+1$ элементов.
$F$ --- функция из множества двухэлементных подмножеств $S$ в множество $\{ 0,\ldots, 2^{n-1}-1\}$.
Предположим, что для любых элементов $x,y,z\in S$ одно из чисел $F(\{ x,y\})$, $F(\{ y,z\})$, $F(\{ z,x\})$ равно сумме остальных двух.
Докажите, что найдутся элементы $a,b,c\in S$ такие, что числа $F(\{ a,b\})$, $F(\{ b,c\})$, $F(\{ c,a\})$ все равны нулю.






\end{document}